講座

    周五的午后，我提前提交了下午要求完成的物理學(xué)習任務(wù)，關(guān)于機械波一維波動(dòng)方程關(guān)于空間坐標x與時(shí)間t兩者二階偏導關(guān)系的證明，還有幾道相關(guān)的習題。這些內容我很久以前就自學(xué)過(guò)，因此完成得很快。

    我到隔壁班找到瑞秋。

    “瑞秋，你還有之前給我的那種雜志嗎？我的一個(gè)朋友….”

    “她喜歡看這種雜志對嗎？我家里收藏了最近一年的期刊，如果需要，我都可以給你?！闭f(shuō)罷，她遞給我一本雜志，依舊是粉色封面。

    我溜到校門(mén)口，盧恩已經(jīng)站在那里等待我了。她站在一輛低調的黑色轎車(chē)旁。

    “露娜！這里！”她揮手，小跑著(zhù)迎上來(lái)，自然而然地挽住我的手臂，“我們得快點(diǎn)，馮·諾伊曼的講座，去晚了恐怕連站位都沒(méi)有了?！?/br>
    我將雜志遞給盧恩，”等下講座結束后到我出租屋里看?！?/br>
    我們乘坐的轎車(chē)駛過(guò)柏林街頭，最終停在柏林大學(xué)古典主義風(fēng)格的大門(mén)前。報告廳里幾乎已經(jīng)坐滿(mǎn)，空氣中彌漫著(zhù)期待、墨水與舊書(shū)卷交織的氣息。我們憑借旁聽(tīng)證，在靠后的位置找到了兩個(gè)相鄰的座位。

    馮·諾伊曼年齡大約27歲，棕發(fā)棕眼，從五官特點(diǎn)可以推測有猶太血統，線(xiàn)條柔和卻又不失精明干練。他中等身高，身著(zhù)裁剪精良的西裝。他的眼神銳利靈活，仿佛時(shí)刻進(jìn)行高速的計算。

    他直接切入正題：解析數論中關(guān)于素數分布的一些最新進(jìn)展。他的語(yǔ)速很快，思維跳躍性極強，偶爾會(huì )帶上風(fēng)趣的比喻，仿佛默認聽(tīng)眾都擁有與他同頻的大腦。

    從黎曼ζ函數講起，談到哈代和李特爾伍德在素數分布理論上的工作，尤其是他們對哥德巴赫猜想弱形式（任何足夠大的奇數都可以表示為三個(gè)素數之和）的推進(jìn)。他引入了“圓法”的基本思想，將數論問(wèn)題轉化為復平面上的積分問(wèn)題。

    “因此，我們關(guān)注的是ζ函數在臨界帶內的零點(diǎn)分布，這直接關(guān)系到素數分布的誤差項……”

    我跟著(zhù)他的思路。這些內容我在課外閱讀中接觸過(guò)一部分，有些內容甚至觸及了當時(shí)數論研究的前沿。我熟悉ζ函數的概念，也了解素數定理，但哈代和李特爾伍德的“圓法”及其在哥德巴赫猜想上的應用，對我而言是一個(gè)意想不到的視角。它將關(guān)于數的加法結構這種加性數論問(wèn)題與復積分這類(lèi)分析工具聯(lián)系了起來(lái)。

    講座中途有一個(gè)簡(jiǎn)短的提問(wèn)環(huán)節。有人問(wèn)及黎曼猜想如果被證明，會(huì )對素數分布的具體形式產(chǎn)生何等影響。馮·諾伊曼的回答既嚴謹又帶著(zhù)他特有的洞察力，描述了在假設黎曼猜想成立的情況下，素數定理誤差項所能達到的最佳可能界。

    就在這時(shí)，我身邊的盧恩微微舉起了手，她的臉頰因緊張和興奮而泛紅。在馮·諾伊曼頷首示意后，她清晰地問(wèn)道：“諾伊曼博士，請原諒我的問(wèn)題可能不夠深入……您和之前的學(xué)者們花了如此大的精力研究素數，比如它們的分布規律。除了數學(xué)本身的美感之外，理解這些看似隨機的數字背后隱藏的秩序，究竟能幫助我們認識到什么呢？它最終能指向什么更大的圖景嗎？”

    馮·諾伊曼似乎對這個(gè)問(wèn)題并不意外，他溫和地笑了笑：“一個(gè)非常好的問(wèn)題，馮·菲舍爾小姐。它觸及了數學(xué)研究的動(dòng)機之一。素數，這些看似頑固地拒絕完美分割的數字，它們是構成所有整數的基本‘原子’。理解它們的分布，就像是物理學(xué)家試圖理解物質(zhì)的基本粒子。這不僅僅是關(guān)于數字本身，更是為了理解‘結構’的本質(zhì)——從最純粹的數學(xué)結構，到可能蘊含在物理世界、甚至更抽象的邏輯宇宙中的深層結構。這種秩序本身，就是一幅宏大的圖景?！?/br>
    盧恩點(diǎn)點(diǎn)頭，她坐了下來(lái)，輕輕碰了碰我的手臂，低聲道：“結構……就像宇宙的語(yǔ)法規則，對嗎？”

    “語(yǔ)法規則……”這個(gè)比喻瞬間打開(kāi)了我思維的閘門(mén)。盧恩的問(wèn)題和馮·諾伊曼關(guān)于“結構”的回答，與我腦海中正在盤(pán)旋的“圓法”聯(lián)系了起來(lái)。如果素數分布是某種深層結構的表現，那么“圓法”就是將加法結構與分析結構聯(lián)系起來(lái)的橋梁。這種結構在維度提升時(shí)，會(huì )如何變化？

    報告廳里安靜了一瞬。我沉浸在剛才的討論激發(fā)的聯(lián)想中，腦海中浮現一個(gè)想法，關(guān)于“圓法”中處理奇異級數時(shí)，對不同算術(shù)數列中素數分布均勻性的依賴(lài)，以及這種依賴(lài)性在更高維問(wèn)題中可能面臨的挑戰。

    “諾伊曼博士，關(guān)于您剛才提到的圓法中奇異級數的收斂性，它強烈依賴(lài)于對模不同整數的素數在算術(shù)數列中分布的假設。這是否意味著(zhù)，如果我們考慮更高維的加法問(wèn)題，比如不僅限于兩個(gè)或三個(gè)變量的線(xiàn)性表示，相應的‘奇異積分’或‘奇異結構’會(huì )變得異常復雜，甚至可能無(wú)法有效控制主項和誤差項之間的平衡？”

    “一個(gè)非常敏銳的問(wèn)題，年輕的小姐?！彼c(diǎn)點(diǎn)頭，“確實(shí)，隨著(zhù)變量維度的增加，對應的‘奇異對象’的解析處理會(huì )指數級困難。哈代和李特爾伍德的方法在低維情況下取得了輝煌的成功，但向高維推廣面臨著(zhù)本質(zhì)性的障礙。這涉及到指數和的估計，以及……”他頓了頓，似乎在尋找更通俗的表達，“……本質(zhì)上，是隨機性與結構性的博弈在更高維度上的表現?！?/br>
    我所在的不遠處傳來(lái)一個(gè)男聲，他直接加入了對話(huà)。

    “沒(méi)錯！而且我認為，這種高維復雜性或許可以從概率數論的角度來(lái)重新詮釋?zhuān)∪绻覀儼阉財敌蛄幸暈槟撤N‘擬隨機’對象，那么高維表示問(wèn)題或許可以轉化為對隨機變量聯(lián)合分布矩的估計問(wèn)題！”

    他二十歲出頭，淺棕色的頭發(fā)有些凌亂，眼神熾熱，言語(yǔ)中充滿(mǎn)了跳躍性的思維火花。他的想法很大膽，直接將當時(shí)還處于萌芽階段的概率數論思想引入了進(jìn)來(lái)。

    但他隨即補充道：“比如，我們可以考慮素數在模大數下的分布，利用某種中心極限定理的類(lèi)比，甚至借用一點(diǎn)遍歷論的初步思想，來(lái)重新構造奇異級數……”

    他提到的“遍歷論”讓我微微蹙眉。遍歷論在當時(shí)主要應用于動(dòng)力系統和統計力學(xué)，雖然其核心思想——時(shí)間平均等于空間平均——蘊含著(zhù)深刻的概率內涵，但將其直接、成熟地應用于數論中的素數分布，尤其是具體到“圓法”的框架下，聽(tīng)起來(lái)過(guò)于超前，甚至有些……不嚴謹。他的思維很跳脫，但似乎缺乏足夠的細節來(lái)支撐這個(gè)跨領(lǐng)域的橋梁。

    坐在他旁邊的一個(gè)女孩，有著(zhù)亞麻色的披肩長(cháng)發(fā)和灰藍眼眸，輕輕拉了一下他的衣袖，低聲快速說(shuō)了幾句。她的聲音很輕，但我捕捉到了“遍歷論假設過(guò)于理想化”、“目前缺乏對素數序列強混合性的有效估計”等關(guān)鍵詞。

    年輕男人愣了一下，隨即拍了拍自己的額頭，恍然大悟般對女孩笑了笑，然后轉向馮·諾伊曼和我們這邊：“抱歉，我太心急了。伊麗莎白提醒得對，直接套用遍歷論目前的工具可能還為時(shí)過(guò)早，素數序列的‘隨機性’遠非那么簡(jiǎn)單。我的意思是，或許我們可以從更基礎的、大偏差理論的角度先入手……”

    馮·諾伊曼似乎對這種充滿(mǎn)活力的、即使有些毛糙的思維碰撞習以為常，他簡(jiǎn)單地評論道：“概率思想是理解數論的有力視角，但需要嚴謹的解析工具作為基石。很高興看到這些交叉方向上思考?！?/br>
    講座結束后，人群開(kāi)始散去。

    “露娜，你聽(tīng)到了嗎？馮·諾伊曼博士稱(chēng)贊了你的問(wèn)題！‘非常敏銳’！你想到那么深入的地方，關(guān)于高維和奇異結構……“

    “是你先問(wèn)的問(wèn)題啟發(fā)了我，盧恩?！钪娴恼Z(yǔ)法規則’這個(gè)比喻，讓我立刻想到了不同維度下‘語(yǔ)法’可能發(fā)生的變化。如果沒(méi)有你的切入點(diǎn)，我可能還停留在對‘圓法’本身的思考里?！?/br>
    “但你的理解深刻多了！”盧恩堅持道，然后她的目光轉向剛才那個(gè)插話(huà)的年輕男人，“不過(guò)，那個(gè)男生也很有意思，不是嗎？他的想法很跳躍，一下子就扯到了概率和……嗯，遍歷論？雖然聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)冒險，但感覺(jué)很活躍，充滿(mǎn)想象力?！?/br>
    我們正低聲交談著(zhù)，隨著(zhù)人流慢慢向報告廳外移動(dòng)。那個(gè)淺棕色頭發(fā)的年輕男人和他身邊那位亞麻色長(cháng)發(fā)的女孩擠過(guò)人群，來(lái)到了我們面前。

    “打擾一下！”年輕男人臉上帶著(zhù)熱情洋溢的笑容“我是尤爾根·科恩（Jürgen   Kein），這位是伊麗莎白·克萊因（Elizabeth   Klein）我們在慕尼黑大學(xué)學(xué)習，這段時(shí)間在隨導師來(lái)到柏林交流。剛才你們的提問(wèn)真是太精彩了！對高維推廣困境的直覺(jué)非常精準！請問(wèn)你們是……”

    他語(yǔ)速很快，充滿(mǎn)了活力。伊麗莎白·克萊因站在他身旁，帶著(zhù)一種沉靜的溫和，她微笑著(zhù)向我們點(diǎn)頭。

    “盧恩·馮·菲舍爾，在柏林大學(xué)數學(xué)系學(xué)習，這位是我的朋友露娜·諾伊曼?！?/br>
    尤爾根繼續說(shuō)著(zhù)，顯得很興奮：“我和伊麗莎白一直在討論數論和概率方法的交叉領(lǐng)域，聽(tīng)到你們的問(wèn)題，感覺(jué)找到了知音！對了，”他稍微湊近了一點(diǎn)，仔細聽(tīng)著(zhù)我尚未完全改變的巴伐利亞口音，“諾伊曼小姐，我聽(tīng)你說(shuō)話(huà)帶點(diǎn)巴伐利亞口音？你也是從慕尼黑來(lái)的嗎？難道之前在慕尼黑大學(xué)參加過(guò)什么活動(dòng)？”

    慕尼黑有一些我并不愿意多提的過(guò)去，無(wú)論是母親，是琳達，是利奧，是K，還是那段被視為“怪胎”的時(shí)光。

    “叫我露娜就好。是的，我來(lái)自慕尼黑。不過(guò)，我的母親認為柏林的學(xué)習氛圍更適合我，也有更多的機會(huì )，于是讓我我轉學(xué)來(lái)這里有一段時(shí)間了?！?/br>
    我刻意模糊了“轉學(xué)來(lái)柏林”的原因，將重點(diǎn)放在“目前人在柏林”和“我在此上學(xué)”這兩個(gè)事實(shí)上，避免深入探討慕尼黑的過(guò)去。

    “原來(lái)如此！”尤爾根點(diǎn)點(diǎn)頭，他的注意力很快又回到了數學(xué)上，“太好了，柏林真是個(gè)充滿(mǎn)驚喜的地方！能遇到像你這樣有天賦又年輕的后輩……呃，我是說(shuō)，同好！希望以后還有機會(huì )交流！我和伊麗莎白通常會(huì )在大學(xué)圖書(shū)館靠近物理書(shū)架的那片區域自習?！?/br>
    伊麗莎白也微笑著(zhù)補充道：“是的，歡迎你來(lái)討論。尤爾根雖然想法有時(shí)天馬行空，但他的熱情和直覺(jué)常常能帶來(lái)意想不到的視角?！?/br>
    “謝謝，有機會(huì )我會(huì )去的。暑假期間我可能會(huì )回到慕尼黑，到時(shí)候期待與你們在慕尼黑的見(jiàn)面和交流”我點(diǎn)頭應允。尤爾根的思維確實(shí)跳躍，甚至有些莽撞，但這種不受束縛的想象力在數學(xué)探索中有時(shí)確實(shí)是寶貴的火花。而伊麗莎白則像是一個(gè)完美的平衡器，冷靜而嚴謹。

    簡(jiǎn)單的告別后，他們便隨著(zhù)人流離開(kāi)了。

    盧恩看著(zhù)我，眼中帶著(zhù)一絲好奇，但并沒(méi)有追問(wèn)關(guān)于慕尼黑的事情，而是挽起我的胳膊，興致勃勃地說(shuō)：“看，露娜，你的才華正在被越來(lái)越多的人看到！我們快回去吧，我都等不及要看那本新雜志了！”